Unusual proof systems for modal logics with applications to decision problems
Systèmes de preuve inhabituels pour la logique modale avec applications aux problèmes de décision
Résumé
This thesis rigorously explores modal logics, analyzing them from a proof theory perspective. In the intuitionistic setting of modal logics, we present a fully labelled sequent system such that there is not only one, but two relation symbols appearing in sequents: one for the accessibility relation associated with the Kripke semantics for normal modal logics and one for the preorder relation associated with the Kripke semantics for intuitionistic logic. We extend this system to capture the fifteen distinct intuitionistic modal logics of the S5-cube. The advantages of this system, such as all its inference rules are invertible and that there is a direct correspondence between sequents and models, allow us to explore decision problems for different variants of intuitionistic modal logics, such as IK, IT, IB, ITB, IK5. In particular, we perform proof search in our fully labelled sequent system and we give a decision procedure to prove decidability of the mentioned logics. We then extend this search algorithm to solve a problem that has been open for almost thirty years since it had been posed in Simpson’s PhD thesis in 1994: we demonstrate decidability of the intuitionistic modal logic S4. Our search algorithm outputs either a proof or a finite counter-model, thus, additionally establishing the finite model property for intuitionistic S4, which has been another long-standing open problem in the area. In the classical setting of modal logics, we present a work in progress in the formalism of deep inference using the methodology of subatomic proof theory. We present a subatomic proof system for the linear fragment of classical modal logics, showing its cut-elimination via splitting. As a result of this proof, we show the admissibility of the up-rules which are the cuts.
Cette thèse explore rigoureusement les logiques modales, les analysant du point de vue de la théorie de la preuve. Dans le contexte intuitionniste des logiques modales, nous présentons un système de séquents entièrement étiqueté, dans lequel non pas un, mais deux symboles de relation apparaissent dans les séquents: l'un pour la relation d'accessibilité associée à la sémantique de Kripke des logiques modales normales, et l'autre pour la relation de préordre associée à la sémantique de Kripke de la logique intuitionniste. Nous étendons ce système pour englober les quinze logiques modales intuitionnistes distinctes du cube S5. Les avantages de ce système, tels que toutes ses règles d'inférence sont inversibles et qu'il existe une correspondance directe entre les séquents et les modèles, nous permettent d'explorer les problèmes de décision pour différentes variantes des logiques modales intuitionnistes, telles que IK, IT, IB, ITB, IK5. En particulier, nous effectuons une recherche de preuves dans notre système de séquents entièrement étiqueté et nous proposons une procédure de décision pour prouver la décidabilité des logiques mentionnées. Nous étendons ensuite cet algorithme de recherche pour résoudre un problème ouvert depuis près de trente ans depuis qu'il a été posé dans la thèse de doctorat de Simpson en 1994: nous démontrons la décidabilité de la logique modale intuitionniste S4. Notre algorithme de recherche produit soit une preuve, soit un contre-modèle fini, établissant ainsi la propriété de modèle fini pour l'intuitionniste S4, qui était un autre problème ouvert de longue date dans ce domaine. Dans le cadre classique des logiques modales, nous présentons un travail en cours dans le formalisme de l'inférence profonde en utilisant la méthodologie de la théorie de la preuve subatomique. Nous présentons un système de preuve subatomique pour le fragment linéaire des logiques modales classiques, montrant son "cut-elimination via splitting". Suite à cette preuve, nous démontrons l'admissibilité des règles ascendantes, qui sont les "cuts".
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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