Courbe d'une fraction rationnelle et courbes de Bézier à points massiques - Université Polytechnique des Hauts-de-France Access content directly
Conference Papers Year : 2019

## Courbe d'une fraction rationnelle et courbes de Bézier à points massiques

Jean-Paul Becar
Laurent Fuchs
• Function : Author
• PersonId : 858566
Lionel Garnier
• Function : Author
• PersonId : 936575

#### Abstract

Modelling polynomial curves or arcs with Bezier curves can be seen as a basis conversion not so easy for the rational curves. The classical representation of Rational curves based on controlled points with non negative weights as in NURBS does not cover all rational curves. This can be fixed by using the rational Bezier representation by mass points that are weighted points with negative or null weights. The curve of any rational function includes arcs denoted as connex components. These curves and their asymptotic lines are here modelled by the use of mass control points. The asymptotic lines are described by a point that are one weighted point or a vector. An algorithm proposes to represent any arc of a rational function f = P Q where P, Q are polynomials. The algorihtm starts by the rational Bezier representation by mass points with the parameter running on [0, 1], isolates any connex component of the curve by obtaining the zeroes of the denominator. The real line isthus split in subintervals. The next step consists in a homographic parameter change that transforms the [0, 1] interval into any previous interval. The parameter change does not modify the degree curve and points out the mass control points Bézier representation including the asymptotic line.
La modélisation de courbes ou d'arcs de courbe par des courbes de Bézier, qui peut être vu comme un simple changement de base pour les courbes polynomiales, est moins évidente pour les courbes rationnelles. En effet, les courbes rationnelles ne se sont pas complètement capturées par le modèle classique des courbes de Bézier rationnelles à points pondérés de contrôle (i.e. les poids sont strictement positifs comme dans les NURBS), il est nécessaire d'introduire les courbes de Bézier rationnelles à points massiques de contrôle (i.e. les poids peuvent être nuls ou négatifs). La courbe représentative C f d'une fraction rationnelle f est généralement constituée de plusieurs branches (composantes connexes de la courbe). Dans cet article, nous montrons comment chaque branche est modélisée par une courbe de Bézier rationnelle à points massiques de contrôle. Pour ces courbes, la difficulté est de pouvoir modéliser les asymptotes. Cette difficulté est résolue en utilisant un vecteur (i.e. un point massique de poids nul) qui donne la direction de cette asymptote et un point pondéré (i.e. un point massique de poids non nul) qui fixe la position de cette asymptote. Pour déterminer les courbes de Bézier rationnelles (à points massiques de contrôle) modélisant chaque branche de la courbe représentative C f d'une fraction rationnelle f = P Q où P et Q sont des polynômes dépendant de la variable x, la méthode proposée commence par déterminer la courbe de Bézier ration-nelle représentant C f sur [0; 1], puis détermine, pour chaque composante connexe, la courbe de Bézier rationnelle en découpant la droite réelle R en intervalles où les extrémités sont les racines de Q(x) auxquelles sont ajoutées −∞ et +∞. Les points massiques de contrôle sont alors déterminés par un changement de paramètre homographique qui envoie l'intervalle [0; 1] sur l'un des intervalles précités.

#### Domains

Mathematics [math] Metric Geometry [math.MG]

### Dates and versions

hal-02510427 , version 1 (17-03-2020)

### Identifiers

• HAL Id : hal-02510427 , version 1

### Cite

Jean-Paul Becar, Laurent Fuchs, Lionel Garnier. Courbe d'une fraction rationnelle et courbes de Bézier à points massiques. GTMG 2019, Mar 2019, TOULOUSE, France. ⟨hal-02510427⟩

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