Sur les suites des descendants d'un polygone
Résumé
Soient P = [A_1 , ..., A_n ] un n-polygone (avec n ≥ 4) du plan euclidien E et λ un réel dans l'intervalle ]0, 1[. On note
P_1 = [A′_1 , • • • , A′_n ] le n-polygone dont les sommets A′_1 , • • • , A′_n sont les λ-barycentres
A′_k = (1-λ)A_k + λA_{k+1} , avec 1 ≤ k ≤ n et A_{n+1} = A_1 ; on dira que P_1 est le premier λ-descendant de P_0 = P. On itère ce processus ; à l'étape q ≥ 1 on obtient le q ème λ-descendant P_q de P. On définit ainsi une suite {P_q } de n-polygones qu'on appelle la suite des λ-descendants de P. Dans ce papier : (I) on donne une génralisation du théorème de Varignon à n'importe quel polygone pair et pondéré ; (II) on montre que, pour tout n pair et pour tout ε > 0, il existe un rang q_ε tel que, pour tout q ≥ q_ε , P_q est ε-multiparallélogramme, c'est-à-dire ε-proche d'un multiparallélogramme (n-polygone pair ayant un centre de symétrie).
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