Courants invariants et formes automorphes d'un groupe kleinéen élémentaire - Université Polytechnique des Hauts-de-France Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2001

Invariant currents and automorphic forms of an elementary Kleinian group

Courants invariants et formes automorphes d'un groupe kleinéen élémentaire

Résumé

The cohomology of a discrete group with real (or complex) coefficients can be seen as the de Rham cohomology of the quotient of a contractile manifold by a free and proper action of this group. It is then natural to consider the existence of subcomplexes of the complex of invariant differentia! forms that induce the same cohomology, i.e. for which the inclusion is a quasi-isomorphism. This question is studied in the case of the quotient of the real hyperbolic space by a Kleinian group, the considered subcomplex being that of automorphic forms. This problem is then known as the Borel conjecture, and allows a variant, sometimes called the Borel-Harder conjecture. This conjecture is solved by the classical Hodge theory when the quotient is compact and was proved by Franke when the quotient has finite volume. In this work, we examine the simplest case where the quotient has infinite volume : elementary groups. We use the Poisson transformation to move the problem to the sphere at infinity of the hyperbolic space. Then we compute explicitely the cohomology of invariant currents on this sphere thanks to a decomposition in a regular part on the discontinuity domain and an irregular part on the limit set. This calculus is first made in the cases of infinite cyclic groups of hyperbolic type (generated by a loxodromy), then of parabolic type (generated by a translation in dimension 2). By an average process we can then extend the computations to bigger classes of elementary groups. We obtain explicitely the cohomology of coclosed harmonie automorphic forms via the Poisson transformation, and, by comparing the results with the de Rham cohomology of the quotient when the dimension is even, we can positively answer to the Borel-Harder conjecture for the groups above.
La cohomologie d'un groupe discret à coefficients réels (ou complexes) peut être vue comme la cohomologie de de Rham du quotient d'une variété contractile par une action libre et propre de ce groupe. Il est alors naturel d'envisager l'existence de sous-complexes du complexe des formes différentielles invariantes induisant la même cohomologie, c'est-à-dire pour lesquels l'inclusion est un quasi-isomorphisme. Cette question est étudiée dans le cadre du quotient de l'espace hyperbolique réel par un groupe kleinéen, le sous-complexe considéré étant celui des formes automorphes. Ce problème est alors connu sous le nom de conjecture de Borel, et admet une variante, parfois nommée conjecture de Borel-Harder. Cette conjecture est résolue par la théorie de Hodge classique dans le cas où le quotient est compact et a été prouvée par Franke dans le cas où le quotient est de volume fini. Nous étudions dans ce travail des cas simples où le quotient est de volume infini : celui des groupes élémentaires. Pour cela, nous utilisons la transformation de Poisson pour déplacer le problème sur la sphère à l'infini de l'espace hyperbolique. On calcule alors explicitement la cohomologie des courants invariants sur cette sphère grâce à la décomposition en une partie régulière sur le domaine de discontinuité et une partie irrégulière sur l'ensemble limite. Ce calcul est mené dans le cas de groupes d'abord monogènes de type hyperbolique (engendré par une loxodromie) puis parabolique (engendré par une translation en dimension 2). Un argument de moyenne permet alors d'étendre ces calculs à des classes plus grandes de groupes élémentaires. On en déduit explicitement la cohomologie des formes automorphes harmoniques cofermées via la transformation de Poisson, et la confrontation de ces résultats à la cohomologie de de Rham du quotient en dimension paire permet alors de répondre positivement à la conjecture de Borel-Harder dans les cas envisagés.
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  • HAL Id : tel-03002101 , version 1

Citer

Frédéric Delacroix. Courants invariants et formes automorphes d'un groupe kleinéen élémentaire. Mathématiques [math]. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, UVHC, (France), 2001. Français. ⟨NNT : 2001VALE0016⟩. ⟨tel-03002101⟩
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