Classes réalisables d'extensions non abéliennes de degré p3
Résumé
Let k be a number field and its ring of integers. Let p be an odd prime number. Let Γ be a non-abelian group of order . Let be a maximal -order in the semi-simple algebra containing , and let be its locally free classgroup. We define the set of realizable classes to be the set of classes such that there exists a Galois extension which is tame, with Galois group isomorphic to Γ, and for which the class of is equal to c, where is the ring of integers of N. Let ξ (resp. ) be a primitive pth (resp. th) root of unity. In the present article, under the hypothesis that and are linearly disjoint and is not ramified when Γ has exponent , we define a subset of by means of a Stickelberger ideal, and prove that it is a subgroup of contained in .
Soient k un corps de nombres et Ok son anneau d'entiers. Soit p un nombre premier impair. Soit Γ un groupe non abélien d'ordre p3. Soient M un Ok-ordre maximal dans l'algèbre semi-simple k[Γ] contenant Ok[Γ], et Cl(M) le groupe des classes des M-modules localement libres. On définit l'ensemble R(M) des classes réalisables comme étant l'ensemble des classes c∈Cl(M) telles qu'il existe une extension N/k modérément ramifiée, à groupe de Galois isomorphe à Γ, avec la classe de M⊗Ok[Γ]ON égale c, où ON est l'anneau des entiers de N. Soit ξ (resp. ξp2) une racine primitive p-ième (resp. p2-ième) de l'unité. Dans cet article, sous l'hypothèse que k/Q et Q(ξ)/Q sont linéairement disjointes et k(ξp2)/k(ξ) non ramifiée lorsque Γ est d'exposant p2, on définit un sous-ensemble de Cl(M) par l'intermédiaire d'un idéal de Stickelberger, et on montre qu'il est un sous-groupe de Cl(M) contenu dans R(M).
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